Метод интервалов

Метод интервалов – одна из немногих тем, которая не требует предварительной теоретической подготовки, ибо аналогичная задача была поставлена при изучении темы «квадратные неравенств». Разница только в том, что параболу легко построить по ее нулям, а для графика функций, состоящих из трех и более скобок, требуются дополнительные исследования. Фактически учителю  достаточно поставить перед учеником задачу поиска промежутков знакопостоянства левой части. Если ученик не понимает смысла данного термина – нужно вернуться назад к свойствам функций и квадратным неравенствам.

Как известно, перед тем как определять поведение графика на промежутках необходимо найти границы промежутков знакопостоянства. Они могут быть или нулями функции, или точками, в которых значений не существует. Найдем критические точки.

Существует два способа для расстановки знаков между найденными критическими точками:

1) Использование пробных точек в каждом промежутке.
2) Поиск знака в каком-нибудь одном из них с последующим применением законов чередования знаков на всей оси.

Второе удобнее и практичнее, но без первого понять метод знаков чрезвычайно трудно. Не надо ограничиваться тем, что просто сообщать ученику правило перехода через четную и нечетную степень и просто закрепляют его на большом количестве заданий.

Действуйте иначе. Правило чередования можно и нужно объяснять. Для этого можно  использовать самый простой пример сочетания линейных скобок (не более трех) и сравнивает распределение их знаков в двух пробных точках соседних промежутков. Все скобки (кроме одной) эти знаки повторят, а поменяет его та скобка, от которой образовалась общая граница данных промежутков. На это обстоятельство нужно обращать особое внимание учащегося. Затем нужно спросить: «Как изменится распределение знаков в случае наличия четной степени у рассматриваемой скобки?». Обычно на такой вопрос ученики отвечают правильно.

Подмеченная закономерность тут же фиксируется в виде записи правила чередования: при переходе через критическую точку, образованную от линейной скобки в нечетной степени знак на промежутке меняется, а если степень четная – сохраняется. Пожалуй, это основной момент в теме.

Определение знака в правом промежутке

Чаще можно обойтись и без подстановки пробных точек. Для этого нужно обратить внимание на особенность чисел из правого промежутка. Если мы возмем в качестве пробной точки очень большое число, например, 1000000, то получим в каждой скобке тот же знак, какой имеется у коэффициента перед переменной. Если ее степень нечетная – она этот знак сохранит. Поэтому он будет определяться произведением коэффициентов, расположенных в скобках с нечетными степенями. Я предпочитаю оформить это наблюдение в виде правила и записать в теоретическую тетрадь. Хватит следующего комментария: «Модуль числа из правого промежутка настолько велик, что в независимости от свободного слагаемого линейной скобки ее знак совпадет с коэффициентом при иксе». Поэтому мы смотрим только на знаки старших коэффициентов и подписываем их над каждой скобкой для финального учета.

Советы по оформлению решений

Отработка моторики действий по выполнению любого математического алгоритма – чрезвычайно важный этап в работе с учеником (особенно с не самым сильным). В методе интервалов есть несколько формальных моментов, о которых нужно предупреждать ученика и которые желательно соблюдать:
1) При переносе критических точек на рисунок сначала надо пересчитать их количество, затем равномерно распределить по числовой оси, а уже потом прикреплять к ним числа в порядке возрастания. Как часто бывает? Ученик отмечает первую же попавшую ему на глаза критическую точку посередине оси, затем еще одну. После этого выясняется, что третья точка находится между двумя предыдущими, а четвертая между третьей и второй и так далее. В результате информация концентрируются в середине рисунка, и он теряет разборчивость. Приходится переделывать заново.

Инструкция с поэтапным переносом точек позволяет снижать вероятность не только появления скопления знаков в узкой части рисунка, но и избегать ошибок при расстановке и сравнении. Почему? Потому, что является возможность организовать последовательный перенос точек, от наименьшей до наибольшей. Каждая следующая сравнивается только с предыдущей (в соответствии с порядком возрастания или убывания). Для того, чтобы не пропустить какую-либо из них и быстрее сравнить оставшиеся границы будущих промежутков вычеркивайте отмеченные точки из списка таким образом:

 

В таком же ключе можно рекомендовать ученику отмечать точки.
2) Знаки на промежутках должны располагаться по другую сторону от прямой (в верхней ее части), а критические точки подписываться по другую сторону (в нижней).

3) Тем самым мы расчищаем рисунок и делаем его более читабельным. Для того, чтобы интервальные знаки не тонули в общей картине их желательно рисовать жирными и длинными.

О выделении промежутков

В учебниках математики при оформлении решений методом интервалов часто можно встретить загадочные бугорки — кружева, расположенные над промежутками вдоль всей оси.

Как и любой другой знак, поставленный учителем, он должен быть объяснен ученику. Линии не несут никакой смысловой нагрузки, а только выделяют промежутки для того, чтобы они не утонули в потоке пробных точек (изображенных вместе с критическими). Если учитель по математике отказывается от их использования, то и выделять ничего не нужно. Это является дополнительным аргумент в пользу применения правила чередования знаков. Линиями лучше всего выделять сам ответ.

О выделении критических точек
Нули числителя, как известно, отмечаются согласно знаку неравенства (закрашиваются в случае нестрого знака и выкалываются в случае строгого), а нули знаменателя всегда отмечаются пустыми. Для того, чтобы в голове ученика это обстоятельство надежно отложилось, учителю  по математике следует принять определенные правила оформления записей. Под начальным неравенством проводится вертикальная линия. Слева от нее учитель по математике записывает нули числителя, а справа нули знаменателя. Рядом с каждой колонкой можно указать характер переноса точек на рисунок. Я обычно рисую закрашенную точку у входящих в ответ нулей числителя и пустую точку рядом со списком нулей знаменателя.

 

О типичных ошибках учеников

Условия применимости метода интервалов должны отработаны учителем по математике особым образом. Наиболее распространенной ошибкой учащихся в данной теме является использование алгоритма при отсутствии нуля в правой части. Нужно предложить отдельные задания на выявление подобных случаев. Кроме правого нуля выражение в левой части должно быть представлено в виде произведения линейных скобок. У дробей числитель и знаменатель должны быть также разложены на множители. За усвоением этих моментов учитель по математике обязан следить самым пристальным образом. Кроме ошибок, связанных с условиями применимости метода интервалов, к типичным промахам относится пропуск нулевой критической точки. Она образуется от множителей вида .

Как далеко учитель по математике углубляется в метод интервалов?

Cуществуют множество ситуаций, которые сводятся к рассматриваемому методу. Одних только алгебраических случаев насчитывается почти с десяток. Это целые и дробные левые частьи, различные комбинации степеней и разложений, совпадения критических точек и сокращения дробей, невозможность разложения скобок на линейные, множители — модули. Если учитель нацелен дать сильному ученику полноценную подготовку к ЕГЭ по математике, он должен рассмотреть все виды задач. Для логарифмических и показательных неравенств очень актуален расширенный метод интервалов.

По материалам А.Н. Колпакова, репетитора по математике. Москва